Ответ:
1.Ост-Индская компания — название ряда торговых обществ в европейских странах колониальной эпохи. В каждой из крупных держав была учреждена собственная компания, наделённая монопольным правом торговли с Ост-Индией(то есть для торговли в основном)
2. На примере Британии
В 1609 году руководство компании отправило в Индию сэра Уильяма Хоукинса, который должен был заручиться поддержкой падишаха Джахангира. Хоукинс хорошо знал турецкий язык и очень понравился падишаху. Благодаря его усилиям, а также приходу кораблей под командованием Беста, компания получила возможность создать факторию в Сурате.
В 1613 году падишах разрешает компании торговать по всей Индии с фиксированным уровнем пошлин. Это стало возможно из-за политики Джахангира — разделить интересы европейцев и стравить их между собой. По другой версии, англичане получили торговые привилегии позже, благодаря военной помощи войскам Джахангира в 1614 году.
Укрепить позиции в Индии помогла деятельность английского дипломата сэра Томаса Ро, который вел переговоры с Джахангиром. Посол английского короля Якова приехал не в качестве просителя, а как официальный представитель Британии. Английский дипломат получил задание обеспечить компании беспрепятственную торговлю и защиту падишаха. Ро справился с миссией и стал одним из фаворитов Джахангира.
(короче говоря, дипломатия и попытки "втереться в доверие" к падишаху)
P.S безусловно были и военные кампании, но я не уверен, можно ли их относить к увеличению своего влияния