Задание 2. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечетных...

0 голосов
73 просмотров

Задание 2. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8. Для начала составим выражение, о котором говорится в задании. Если четное числоможно записать при помощи переменной как 2, то нечетное число будет выглядеть как2n + 1.1-ое нечетное число: 2n + 12-ое нечетное число: 2n + 3Разность квадратов этих чисел: (2 + 3)2 − (2 + 1)2 Теперь необходимо доказать, что данное выражение кратно 8. Попробуйте сделать этосамостоятельно. Здесь неважно то, как вы начнете действовать: вы можетевоспользоваться формулой разности квадратов, а можно просто взять и упростить данноевыражение.Задание 3. Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чиселприбавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.Подсказка:Рассмотрим каждое выражение, о котором говорится в задаче.Первое число: Второе число: ( n+ 1)Третье число: (n + 2)Их произведение:n ( n+ 1)(n + 2)Прибавим среднее число и получим: (n + 1)(n + 2) + (n + 1)Куб среднего числа: (n + 1)3Теперь можем составить тождество, которое необходимо доказать:n(n + 1)( n+ 2) + (n + 1) = (n + 1)3

Алгебра (23 баллов) | 73 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

2)\; \; (2n+3)^2-(2n+1)^2=\Big((2n+3)-(2n+1)\Big)\Big((2n+3)+(2n+1)\Big)=\\\\=(3-1)(4n+4)=2\cdot 4(n+1)=8\cdot (n+1)\\\\8(n+1)\, \vdots \; 8

Если число можно представить в виде произведения , где одним из множителей является  8, то это число делится на 8 .

3)\; \; n\underline {(n+1)}(n+2)+\underline {(n+1)}=(n+1)\cdot \Big(n(n+2)+1\Big)=\\\\=(n+1)\underline {(n^2+2n+1)}=(n+1)\underline {(n+1)^2}=(n+1)^3

Если к произведению трёх последовательных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма равна кубу среднего числа.

(831k баллов)
0 голосов

Задание 2

Обозначим первое число как (2n-1), а следующее за ним как (2n+1), \; n \in \mathbb N. Раскроем разность квадратов по формуле a^2-b^2=(a-b)(a+b):

(2n-1)^2-(2n+1)^2=(2n-1-(2n+1))(2n-1+2n+1)=\\=-2 \cdot 4n=-8n

Один из множителей делится на 8, а значит, и всё число делится на 8.

Задание 3

Запишем три последовательных числа как (z-1), \; z, \; (z+1), \; \; z \in \mathbb Z. Составим выражение из условия:

(z-1) \cdot z \cdot (z+1)+z=(z^2-1) \cdot z+z=z(z^2-1+1)= z \cdot z^2=z^3.

Что и требовалось доказать.

(9.6k баллов)
Похожие задачи