Доведіть (1+a/b)(4+b/c)(1+c/a)>=16 коли a>0, b>0, c>0

Question

Доведіть (1+a/b)(4+b/c)(1+c/a)>=16 коли a>0, b>0, c>0

Answer 1

За нерівністю Коші маємо:

1+a/b ≥ 2√(a/b)

4+b/c ≥ 2√(4b/c); 4+b/c ≥ 2·2√(b/c); 4+b/c ≥ 4√(b/c)

1+c/a ≥ 2√(c/a)

Помножимо ліві та праві частини нерівностей:

(1+a/b)(4+b/c)(1+c/a) ≥ 2·4·2√((abc)/(abc));

(1+a/b)(4+b/c)(1+c/a) ≥ 16.