Найти косинус угла между апофемами (фото внутри)

Ответ:

2). $\frac{2}{3}$

Объяснение:

Воспользуемся теоремой косинусов для ΔMPN:

$MN^{2}=MP^{2}+NP^{2}-2*MP*NP*cos\alpha$ , где ∠ $\alpha$ - это искомый ∠MPN.

MN - средняя линия ΔACD, а значит равна $\frac{1}{2} AC$ ; при этом MP=NP. Имеем:

$(\frac{AC}{2}) ^{2}=2*MP^{2}-2*MP^{2}*cos\alpha$

$\frac{AC^{2} }{4}=2*MP^{2}*(1-cos\alpha)$

$\frac{AC^{2} }{4*2*MP^{2}} =1-cos\alpha$

$cos\alpha=1-\frac{AC^{2} }{8*MP^{2} }$

$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=4^{2}+4^{2}=32$

$MP^{2}=PD^{2}-MD^{2}=4^{2}-2^{2}=12$

$cos\alpha=1-\frac{32}{8*12}=1-\frac{4}{12}=\frac{2}{3}.$