Решить неравенство:(2/х)^8 ≥ 3125(1-х²)

Question

Решить неравенство:(2/х)^8 ≥ 3125(1-х²)

Comments

Там все просто у производной нет корней функция монотонна. Да и вообще можно через область значения функции показать что графики не пересекаются на промежутке от -1 до 1 (промежуток положительности параболы 3125*(1-x^2) .

---

Нет не при всех ответ x=(-беск -2sqrt(5)/5] u(2sqrt(5)/5 ] ,вопрос в том как легко получить эти корни математическим путем

---

Ну да все там нормально

---

ну кажется получается

---

Осталось доказать что оставшийся многочлен четвертой степени не имеет положительных корней

---

В принципе замена t=5x^2/4>=0 , дает уравнение: 4t^5-5t^4+1=0 t=1,можно получить группировкой слагаемых при помощи формул разности степеней)

---

Скорее всего метод неопределенных коэффициентов

---

Весьма интересное задание

---

+-2sqrt(5)/5

---

Уравнение (2/x)^8=3125*(1-x^2) имеет два действиетльных корня

Answer 1

Ответ: x∈ (-∞;0)∨(0;∞)

Объяснение:

Cначало решим уравнение:

(2/х)^8 = 3125(1-х²)   ОДЗ  x≠0

Перепишем уравнение в виде:

3125*x^10-3125*x^8+2^8=0   (3125=5^5 ; 2^8=4^4)

5^5*x^10 -5^5*x^8 +4^4=0  

4 *5^5/4 *x^10 -5*5^4 *x^8 +4^4=0 (поделим обе части уравнения на 4^4)

4* ( (5/4)^5 *x^10) -5* ( (5/4)^4*x^8) +1=0

Cделаем замену:   5x^2/4=t>0

4t^5-5t^4+1=0

(4t^5-4) - (5t^4-5)=0 (применим формулу разности степеней  t^n-1^n)

4*(t-1)*(t^4+t^3+t^2+t) -5*(t-1)*(t^3+t^2+t+1) =0

(t-1)* ( 4*(t^4+t^3+t^2+t) -5*(t^3+t^2+t+1) )=0

(t-1)* (4t^4-t^3-t^2-t-1)=0

4t^4-t^3-t^2-1=4t^4-4 - ( (t^3-1) +(t^2-1)  +(t-1) )

(t-1)*( 4*(t^3+t^2+t+1) -(t^2+t+1)  -(t+1) -1)=(t-1)*(4t^3+3t^2+2t+1)

Итак,уравнение принимает вид:

(t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)=0

Нужно решить неравенство: (2/х)^8 ≥ 3125(1-х²)

Которое сводится к неравенству:

(t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)>=0

тк  t>0 ,  4t^3+3t^2+2t+1>0 ,  (t-1)^2>0.

Тогда неравенство :

(t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)>=0 (верно  при любых t, кроме  t=0  cогласно ОДЗ)

А значит  верно и для любого x ,кроме x=0

Ответ: x∈ (-∞;0)∨(0;∞)

Comments

Но на ответ это не влияет

---

Если так не понятно, можете в конечное неравенство : (t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1) подставить вместо t=5/4 *x^2

---

А общее неравенство: (2/х)^8 = 3125(1-х²) cоответственно справедливо для любого x кроме нуля

---

t=5/4 *x^2 , оно всегда положительно. Поэтому : 4t^3+3t^2+2t+1 так же положительно ,тк t>0. ну и (x-2)^2 неотрицательно. Следовательно: (t-1)^2*(4t^3+3t^2+2t+1)>=0

---

это конечно тоже не влияет на ответ, но всё же

---

И ещё. Конечное неравенство с t , точно будет выполнятся при любом t, кроме 0, или при t>0, т.к. вторая скобка только при этом условии положительна

---

+-2/sqrt(5)

---

Так то если решать именно уравнение, то 5/4 *x^2=1 x=+-sqrt(5)/2

---

Вы правы >=0 описка

---

Там тогда выходит сумма квадратов и единичке в скобке, а это положительно