С подробным объяснением пожалуйста

Ответ:

$\dfrac12\mathop{\mathrm{ctg}}x$

Объяснение:

Формулы для тангенсов-котангенсов всё равно никто не знает, так что перепишем всё в виде отношений и заодно применим формулы двойных аргументов косинуса и синуса:

$\displaystyle \frac{1+\mathop{\mathrm{ctg}}2x\mathop{\mathrm{ctg}}x}{\mathop{\mathrm{tg}}x+\mathop{\mathrm{ctg}}x}=\frac{1+\frac{1-2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}}=\star$

Домножаем числитель и знаменатель на $2\sin^2x\cos x$ :

$\displaystyle\star=\frac{1+\frac{1-2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}}=\frac{2\sin^2x\cos x+\cos x-2\sin^2x\cos x}{2\sin x(\sin^2x+\cos^2x)}=\diamond$

В числителе после приведения подобных останется только cos x, в знаменателе применяем основное тригонометрическое тождество:

$\diamond=\dfrac{\cos x}{2\sin x\cdot1}=\dfrac12\mathop{\mathrm{ctg}}x$