При каких значениях параметра a сумма квадратов двух различных действительных корней...

Ответ: a ∈ (-∞; -25/21) ∪ (1; 25/8).

Объяснение:

Заметим, что $a\ne 0$ (т.к. при а = 0 данное уравнение преобразуется в линейный вид, что само собой имеет одно решение).

D = 25 - 8a

Квадратное уравнение имеет два различные корня, если D>0

25 - 8a > 0 ⇔ a < 25/8

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1+x_2=\dfrac{5}{a}\\ \\ x_1x_2=\dfrac{2}{a}$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\dfrac{5}{a}\right)^2-2\cdot \dfrac{2}{a}<21\\ \\ \dfrac{25}{a^2}-\dfrac{4}{a}-21<0\\ \\ \dfrac{25}{a^2}-\dfrac{4}{a}-21=0$

Пусть 1/a = t, тогда получаем квадратное уравнение 25t² - 4t - 21 = 0

D = 16 + 2100 = 2116; √D = 46

t₁ = -0.84

t₂ = 1

Обратная замена:

1/a = -0.84 ⇔ a = -25/21

1/a = 1 ⇔ a=1

---------(-25/21)++++++++(0)+++++++++(1)------------

a ∈ (-∞; -25/21) ∪ (1;+∞)

С учетом существования корней, получим a ∈ (-∞; -25/21) ∪ (1; 25/8).