Не знаю как решать , а завтра кр

Question

Дан 1 ответ

d3782741_zn · Answer 1 · 2020-06-02T18:21:33+0000

1) Найдём производную функции $f(x)=\tfrac{1}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2-12x+3$

Воспользуемся производной степенной функции: $(x^n)'=nx^{n-1}$ и теми фактами, что производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель можно вынести за знак производной, производная постоянной равна нулю.

$f'(x)=\left(\tfrac{1}{3}x^3\right)'+\left(\tfrac{1}{2}x^2\right)'-\left(12x\right)'+\left(3\right)'=\tfrac{1}{3}\cdot 3x^2+\tfrac{1}{2}\cdot 2x-12+0=\medskip\\=x^2+x-12$

2) Найдём точки, где производная функции равна нулю (это будут точки, подозрительные на минимум или максимум)

$f'(x)=0,\medskip\\x^2+x-12=0,\medskip\\\left[\begin{gathered}x=-4\\x=3\end{gathered}$

3) Определим какие же точки мы нашли: определим знак производной до интересуемой точки и после неё.

0" alt="f'(-5)=25-5-12=8>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Функция возрастает

$f'(0)=-12<0$

Функция убывает

0" alt="f'(4)=16+4-12=8>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Функция возрастает

Получаем, что до точки -4 функция возрастала, потом убывала до точки 3, а потом опять возрастала. Значит, точка (-4) - точка локального максимума, точка (3) - точка локального минимума.

4) Т.к. дан отрезок $[0;6]$ , то наибольшее значение функции на нём это значение в точке 6, т.к. функция бесконечно возрастает после точки 3, а наименьшее в точке 3, т.к. это точка минимума находится на данном отрезке.

5) $f_{\mathrm{max}}=f(6)=72+18-72+3=21;\medskip\\f_{\mathrm{min}}=f(3)=9+4{,}5-36+3=-19{,}5.$

Ответ. $f_{\mathrm{max}}=21;~f_{\mathrm{min}}=-19{,}5$