3.1
Ищем пределы интегрирования
х² = 2 - х
х² - 2 + х = 0
По т. Виета корни -2 и 1
а)₋₂∫¹ х²dx = x³/3 |₋₂¹ = 3
б) ₋₂∫¹ (2 -х)dx = (2x -x²/2)| ₋₂¹ = 7,5
в) S = 7,5 - 3 = 4,5
3.2
log₅(5^x-4) = 1 - x
a) ОДЗ
5^x-4 > 0, ⇒ 5^x > 4, ⇒5^x > 5^log₅4, ⇒ x > log₅4
б) 5^(1 -x) = 5^x -4
5^1 * 5^-x = 5^x -4 | * 5^x
5 = (5^x)² - 4*5^x
5^x = t
t² - 4t -5 = 0
по т. Виета корни 5 и -1
5^x = 5 5^x = -1
x = 1 ∅
3.3
Вершина конуса S. Хорда АВ. ΔАВS - сечение конуса (равнобедренный треугольник. боковые стороны равны m) .SK - высота (медиана, биссектриса) этого треугольника. SO- высота конуса.
∠SKO = α, ∠AOB = β, S бок. = ?
Решение
S бок. = πRl ( l = m)
Осталось выразить R = ОВ через известные величины.
1) ΔКОВ
КО/R = Cosβ/2 , КО = RСosβ/2
КВ/R= Sinβ/2, ⇒ КВ = RSinβ/2
2) ΔSKO
KO/SK = Cosα, ⇒ KO = SK*Cosα
3) ΔKSB
SK² = m² - KB² = m² - R²Sin²β/2 = KO²/Cos²β/2 = R²Cos²β/2/Cos²α
m² - R²Sin²β/2 = R²Cos²β/2/Cos²α
m² = R²Sin²β/2 + R²Cos²β/2/Cos²α = R²(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α)
m² = R²(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α)
R² = m²/(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α)
R = m/√(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α)
4) S бок = πm*m/√(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α) =
= πm²/√(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α)
S бок = πm²/√(Sin²β/2 + Cos²β/2/Cos²α)