Буду очень благодарна

$x \sqrt{1 + {y}^{2} } + y \sqrt{1 + {x}^{2} } {y}^{ \prime} = 0$
—уравнение с разделяющимися переменными
$x \sqrt{1 + {y}^{2} } + y \sqrt{1 + {x}^{2} } \frac{dy}{dx} = 0 \\ x \sqrt{1 + {y}^{2} } dx + y \sqrt{1 + {x}^{2} } dy = 0 \\ \frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } dx + \frac{y}{ \sqrt{1 + {y}^{2} } } dy = 0 \\ \int\frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } dx + \int\frac{y}{ \sqrt{1 + {y}^{2} } } dy = 0 \\ \int\frac{2x}{ 2\sqrt{1 + {x}^{2} } } dx + \int\frac{2y}{2 \sqrt{1 + {y}^{2} } } dy = 0 \\ \int \frac{d(1 + {x}^{2}) }{2 \sqrt{1 + {x}^{2} } } + \int \frac{d(1 + {y}^{2}) }{2 \sqrt{1 + {y}^{2} } } = 0 \\ \sqrt{1 + {x}^{2} } + \sqrt{1 + {y}^{2} } = c$
— общее решение.
Найдем частное решение, используя начальное условие у(0)=0 .
$\sqrt{1 + {0}^{2} } + \sqrt{1 + {0}^{2} } =c \\ 1 + 1 = c \\ c = 2$
Таким образом,
$\sqrt{1 + {x}^{2} } + \sqrt{1 + {y}^{2} } = 2$
—частное решение.