Найти производную (с подробным решением). 4 вариант.

Решите задачу:

$1)\; \; y=x\cdot \sqrt{\frac{2-x}{2+x}}\\\\y'=\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}+x\cdot \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\cdot \frac{-(2+x)-(2-x)}{(2+x)^2}\\\\2)\; \; y=ln(arcctg\sqrt[3]{x})\\\\y'=\frac{1}{arcctg\sqrt[3]{x}}\cdot \frac{-1}{1+\sqrt[3]{x^2}}\cdot \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}\\\\3)\; \; y=tgx\cdot 2^{cos^2x}\\\\y'=\frac{1}{cos^2x}\cdot 2^{cos^2x}+2^{cos^2x}\cdot ln2\cdot (-2cosx\cdot sinx)\cdot tgx=\\\\=2^{cos^2x}\cdot \Big (\frac{1}{cos^2x}-2\cdot ln2\cdot sin^2x\Big )$

$4)\; \; y=x^{-e^{4x}}\\\\(lny)'=(lnx^{-e^{4x}})'\; ,\; \; \frac{y'}{y}=(-e^{4x}\cdot lnx)'\\\\\frac{y'}{y}=-4e^{4x}\cdot lnx-e^{4x}\cdot \frac{1}{x}=-e^{4x}\cdot (4\, lnx+\frac{1}{x})\\\\y'=-x^{-e^{4x}}\cdot e^{4x}\cdot (4\, lnx+\frac{1}{x})\\\\5)\; \; x\, cosy-2x+3y^2=0\\\\cosy-x\cdot siny\cdot y'-2+6y\cdot y'=0\\\\y'=\frac{2-cosy}{6y-x\cdot siny}\\\\6)\; \; \{\; x=arcsint\; ;\; \; y=\sqrt{1-t^2}\; \}\; \; \to \; \; t=sinx\\\\y'_{x}=\frac{y'_{t}}{x'_{t}}=\frac{\frac{-2t}{2\sqrt{1-t^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}=\frac{t\cdot \sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-t^2}}=-t=-sinx$