Любое натуральное число можно записать в виде произведения простых чисел
(в степени ≥1, некоторые простые числа в степени >1). В результате
умножения получится натуральное число, полученное произведением
объединения всех простых компонент сомножителей, если простая компонента
встретится более чем у одного сомножителя, то её степень будет равна
сумме степеней.
Для нечётных чисел в разложении нет двойки (если все
нечётные, то нет ни одной двойки). Поэтому в представлении результата
двойки не будет и, следовательно, оно нечётное. (Побочный результат –
если встретится хоть один чётный сомножитель, то произведение будет
чётным).
Другой подход.
(2n+1)*(2m+1)=2(2mn+m+n)+1=2k+1, где k =2mn+m+n
Т.е в результате умножения двух нечётных чисел получается нечётное.
Индукцией
легко показать, что и для любого количества так будет. (Пусть верно для
количества сомножителей не превосходящем N шт. == произведение не более
чем N нечётных сомножителей – нечётно. Возьмём N сомножителей –
результат – нечётное – умножит на нечетное. Это произведение двух
нечетных сомножителей, будет нечётно. Т.е. получили, что из
справедливости утверждения для 2..N следует справедливость утверждения и
для N+1)
Надеюсь, с аксиомой Пеано Вас знакомили (если нет, то
принцип мат. индукции и эта аксиома почти одно и то же, из неё следует,
что количество натуральных чисел неограниченно == бесконечно)