Помогите уравнения 112❤️

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Так как квадратное уравнение часто даёт при решении два корня, то для решения тригоном. квадр. уравнений это создаёт дополнительные трудности для написания общего ответа. Надо смотреть, не пересекаются ли две группы решений, и в ответ записывать общие решения. Поэтому с помощью формул тригонометрии лучше от квадратов избавляться с помощью формул.

$1)\; \; sin^2(\frac{3\pi}{4}-2x)=1\; \; ,\qquad \boxed {sin^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}}\\\\\frac{1-cos(\frac{3\pi}{2}-4x)}{2}=1\; \; ,\; \; 1-cos(\frac{3\pi}{2}-4x)=2\; \; ,\\\\cos(\frac{3\pi}{2}-4x)=-1\; \; ,\; \; \; \boxed {cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha )=-sin\alpha }\\\\-sin4x=-1\; \ ;,\; \; sin4x=1\\\\4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z$

$2)\; \; cos^2(3x-\frac{\pi}{6})=\frac{3}{4}\; \; ,\qquad \boxed {cos^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}}\\\\\frac{1+cos(6x-\frac{\pi}{3})}{2}=\frac{3}{4}\; \; ,\; \; 1+cos(6x-\frac{\pi}{3})=\frac{3}{2}\\\\cos(6x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\\\\6x-\frac{\pi}{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\6x=\frac{\pi}{3}\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n\; ,\; \; \underline {x=\frac{\pi}{18}\pm \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z}\\\\x=\left [ {{\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z} \atop {\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z}} \right.$

$3)\; \; 4cos^2(\frac{5\pi }{4}-x)=1\; \; \to \; \; 4\cdot \frac{1+cos(\frac{5\pi }{2}-2x)}{2}=1\; ,\\\\1+cos(\frac{5\pi }{2}-2x)=\frac{1}{2}\; \; ,\; \; cos(2\pi +\frac{\pi}{2}-2x)=-\frac{1}{2}\; ,\; \; cos(\frac{\pi}{2}-2x)=-\frac{1}{2}\\\\sin2x=-\frac{1}{2}\\\\2x=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\underline {x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z}$

$4)\; \; tg^2(5x+\frac{\pi}{3})=3\; \; \; ,\; \; \; \frac{sin^2(5x+\frac{\pi}{3})}{cos^2(5x+\frac{\pi}{3})}=3\; \; ,\; \; cos(5x+\frac{\pi}{3})\ne 0\; ,\\\\sin^2(5x+\frac{\pi}{3})=3\cdot cos^2(5x+\frac{\pi}{3})\\\\sin^2(5x+\frac{\pi}{3})-3\cdot cos^2(5x+\frac{\pi}{3})=0\\\\\Big (1-cos^2(5x+\frac{\pi}{3})\Big )-3\cdot cos^2(5x+\frac{\pi}{3})=0\\\\1-4cos^2(5x+\frac{\pi}{3})=0\; \; ,\; \; \; cos^2(5x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}\; ,\\\\\frac{1+cos(10x+\frac{2\pi }{3})}{2}=\frac{1}{4}\; \; ,\; \; 1+cos(10x+\frac{2\pi }{3})=\frac{1}{2}$

$cos(10x+\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}\\\\10x+\frac{2\pi }{3}=\pm (\pi -arccos\frac{1}{2})+2\pi n=\pm (\pi -\frac{\pi}{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,\\\\10x=-\frac{2\pi }{3}\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\underline {x=-\frac{\pi}{15}\pm \frac{\pi}{15}+\frac{\pi n}{5}\; ,\; n\in Z}\; \; \to \; \; \; x=\left [ {{-\frac{2\pi }{15}+\frac{\pi n}{5}\; ,\; n\in Z} \atop {\frac{\pi n}{5}\; ,\; n\in Z}} \right.$

NNNLLL54_zn (835k баллов) 01 Июнь, 20