Найдите наименьшее натуральное число n, для которого

Question

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого<{√n}< Здесь {√n} - дробная часть числа √n.

Comments

Может там можно домножать.на 900, а там как то остатками играть. Но тоже как то уж больно сложно.

---

Кстати, я раньше об этом не думал, но дробная часть растет монотонно от 0 до 0.(9). Когда число k идет от увеличения. От m^2 до (m+1)^2. То есть между соседними квадратами существует единственное число с данной дробной частью.

---

Что его дробная часть удовлетворяет этому неравенству. Это как раз происходит при таким k,что (k+1/3)^2 -(k+3/10)^2>1. Это и понятно, ведь разность sqrt(n)-sqrt(n-1) уменьшается с ростом n.

---

Я немного неправильно написал (1+a)^(1/2)<1+a/2 . Но это ничего не меняет. Тогда m/2n меньше чем одна треть. Но это еще не гарантирует что она больше чем 3/10. Да на каком то достаточно большем n оно попадает в интервал. Но вот и подвох: вы пишете n=3. А оно только для больших n работает! Не замечаете противоречие? И вообще начиная с определенного k у нас на интервалах от k^2 до (k+1)^2 и более всегда будет находится такое число.

---

На самом деле это и верно. У нас кусочек 0.31 или 0.32 будет примерно дальше чем 2/3*n. Но вопрос в том что мы не знаем что это за n и m. Отношение то мы можем оценить. Но габариты m и n мы уже так неоценим

---

Вернее m/2n может быть и >1/3 для такого приближения. То есть в итоге опять приходим к тому же от чего пришли.

---

Проблема в вашем решении в том ,что это неравенство Бернули: (1+a)^n>1+an. Тогда из решения вытекает: sqrt(n^2+m)> n+m/2n ,но тогда m+2n необязательно<=1/3. Она может быть и больше. Тем более при таком приближении как раз таки вероятнее всего именно дробная часть числа будет более чем 1/3. То есть в итоге опять приходим к тому же самому подбору.

---

?))

---

теперь выведем нашу основную формулукорень квадратный (n^2 + m) равен корню квадратному (n^2*(1 + m/n^2)) примерно равен n + m/(2*n)Итак имеем оценку дробной части: m/(2*n). Причём завышенную. Для нашего случая это важно т. к. при m/(2*n) = 1/3 наша дробная часть попадает в наш интервал. По крайней мере для достаточно больших n.Уравнение m/(2*n) = 1/3 имеет очевидное решение в целых числах. n = 3, m = 2

---

Есть кое-какие соображения. Излагаю.В их центре приближённая формула:корень квадратный (1 + а) примерно равен 1 + а/2формула работает, когда а значительно меньше, чем 1. чем меньше а, тем точнее. при этом оценка по этой формуле завышена для достаточно малых а.любое целое число l можно представить в виде l = n^2 + m,где n - наибольшее целое число, квадрат которого меньше, чем lm - неотрицательное целое число

Answer 1

Рассмотрим числа между числами k² и (k+1)²; Этих чисел ровно 2k;

Разобъем расстояние между этими числами на ячейки и пронумеруем их от i=1 до i=2k; Тогда дробная часть корня от i-того элемента не превосходит  ; Рассматривая данные верхнее и нижнее ограничение, приходим к другой задаче: найти такое наименьшее значение k, при котором выполнено неравенство: ; Небольшим перебором выходим на число k=3; Значит искомое n лежит в промежутке [9;16];

Здесь сразу видно, что n=11

Comments

Так в том то и загвоздака

---

То есть опять же вы выбрали произвольный промежуток и находите в нем решение

---

Загвоздка в том что вы не знаете на каком минимальном промежутке k вы сможете найти число удовлетворяющее этому неравенству

---

sqrt(19)>1/3

---

от 16 до 25: 2k=8, i=2 => 18 и {sqrt(18)}<1/3

---

да вроде и на небольших работает

---

Я даже могу сказать : n=235. и более. Там на промежутках от k до (k+1)^2 при n>=235 можно абсолютно всегда найти такое число

---

на достаточно больших

---

я проверил на достаточно больших числах - вроде сходится

---

Это опять же равносильно подбору