Решить неравенство

$log^2_{0,5}(x-2)<4$

ОДЗ: x-2>0 => x>2

$log^2_{0,5}(x-2)-4<0$

$log^2_{0,5}(x-2)-2^2<0$

Замена:

$log_{0,5}(x-2)=t$

тогда

$t^2-4<0$

$t^2-2^2<0$

$(t-2)(t+2)<0$

$-2<t<2$

Обратная замена:

$-2<log_{0,5}(x-2)<2$

$log_{0,5}4<log_{0,5}(x-2)<log_{0,5}0,25$

Основание 0,5<1, т.е. функция <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dlog_%7B0%2C5%7Dx" id="TexFormula12" title="y=log_{0,5}x" alt="y=log_{0,5}x" align="absmiddle" class="latex-formula"> убывающая, значит, знаки неравенства поменяются на противоположные:

x-2>0,25" alt="4>x-2>0,25" align="absmiddle" class="latex-formula">