Помогите с заданиями, пожалуйста!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) $\sin x=(x+1)^2+1.$ Левая часть меньше либо равна 1, правая часть больше или равна 1. Поэтому равенство возможно только в случае, когда обе части равны 1. Правая часть равна 1 при x= - 1. Однако левая часть при этом значении x не равна 1. Более того, она меньше нуля. Вывод: решений нет.

2) $\sqrt{9+2\sin x}+4\sqrt{\sin x}=\cos\frac{x}{2}+2.$

Второе слагаемое в левой части больше или равно 0. Кроме того, оно дает ограничение $\sin x\ge 0.$ Поэтому первое слагаемое в левой части больше или равно 3, а вся левая часть также больше или равна 3. Левая же часть меньше или равна 3. Поэтому равенство возможно только если обе части равны 3. Правая часть равна 3 когда $\cos\frac{x}{2}=1;\ \frac{x}{2}=2\pi k;\ x=4\pi k.$ Проверяем, что при таких x синус равен 0, то есть левая часть равна 3.

Ответ: $4\pi k;\ k\in Z$

3) $3^{\sin x}=4-\cos^2\left(\frac{4x}{3}\right).$ Левая часть меньше или равна 3, правая часть больше или равна 3. Левая часть равна 3 при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$ Правая часть равна 3 когда косинус равен плюс-минус 1, то есть $\frac{4x}{3}=\pi n;\ x=\frac{3\pi n}{4}.$

Должно выполняться равенство

$\frac{\pi}{2}+2\pi k=\frac{3\pi n}{4};\ 2+8k=3n;\ n=\frac{8k+2}{3}=\frac{8(k+1)-6}{3}=\frac{8(k+1)}{3}-2.$

Поскольку n и k - целые числа, должно выполняться k+1=3m; k=3m-1, откуда

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi(3m-1)=-\frac{3\pi}{2}+6\pi m$

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}+6\pi m;\ m\in Z$

4) $\sqrt{(x+6)(x-1)}+\log_2\sqrt{(x-1)^2+4}=1.$

Левая часть больше или равна 1, поскольку первое слагаемое неотрицательно, а второе - больше или равно 1. Поэтому обе части должны быть равны 1, а это выполнено при x=1.

Ответ: 1

yugolovin_zn (64.0k баллов) 01 Июнь, 20