ЛУЧШИЙ ОТВЕТ + БАЛЛЫ Найдите остаток от делении суммы 4^{2002} +6^{2002} ** 25 ?...

Question

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ + БАЛЛЫ Найдите остаток от делении суммы 4^{2002} +6^{2002} на 25 ? ВАРИАНТЫ: A)4 B)18 C)12 D)24 E)2

Answer 1

φ(25)=20.   φ(n) - функция Ейлера

4 взаимно просто с 25

6 взаимно просто с 25

Из теоремы Ейлера:

4^(20) дает остаток 1 на 25

6^(20) дает остаток 1 на 25

Возведем в степень 100:

4^(2000) дает остаток 1 на 25

6^(2000) дает остаток 1 на 25

Умножим первое равенство на 16:

4^(2002) дает остаток 16 на 25

Умножим второе равенство на 36:

6^(2002) сравнимо с 36 по модулю 25, которое дает остаток 11 при делении на 25

То есть 4^(2002)+6^(2002) сравнимо с 16+11=27 по модулю 25, которое дает остаток 2 на 25.

Ответ: 2

Comments

И еще одно решение придумал:

---

4^2002+6^2002=(6^1001+4^1001)^2-2*4^1001*6^1001=((6+4)*(6^1000-6^999*4+...-6*4^999+4^1000))^2-2*24^1001

---

((6+4)*(6^1000-6^999*4+...-6*4^999+4^1000))^2=100*(6^1000-...+4^1000)^2 делится на 25

---

-2*24^1001 сравнимо с -2*(-1)^1001=2 по модулю 25

---

Значит исходное выражение дает остаток 2 при делении на 25