Ответ:
Пошаговое объяснение:
Пусть z=|z|*(cos(α)+i*sin(α) ) -тригонометрическая форма записи
a=arccos(√(a^2+b^2) ) ; сos(a)=a/√(a^2+b^2) ; sin(a)=b/√(a^2+b^2)
z'=|z|*(cos(α)-i*sin(α) ) -комплексно сопряженное число для числа z.
z^(n-1) =|z|^(n-1) *(cos( (n-1)*α) +i*sin( (n-1) *α) ) -формула Муавра .
Тогда уравнение принимает вид:
|z| *cos(α) -i*|z|*sin(α) =|z|^(n-1)*cos( (n-1)*α) +i*|z|^(n-1) *sin ( (n-1) *α)
Два комплексных числа равны,только тогда когда равны их мнимым и действительные чаcти.
|z|=0 является решением. Запомним это ,и теперь можно поделить обе части на |z|
Тогда имеем систему :
1) cos(α) =|z|^(n-2) *cos( (n-1) *α) )
2) -sin(α)= |z|^(n-2) *sin( (n-1)*α) )
Поделим второе уравнение на первое:
-tg(α)=tg( (n-1) *α )
tg (π-α)=tg( (n-1)*α)
Если построить график tg (x) , то становится понятно, что тангенсы двух аргументов могут быть равны ,только когда:
π-α = (n-1)*α +π*k ( k-целые числа)
Действительно ,если пускать прямые параллельные оси x в данном графике, то они пересекут график в аналогичной ординате только спустя какое то число периодов. Поскольку на каждом междуасимптотном кусочке графике,функция монотонно возрастает. И каждый междуасимптотный кусочек является смещением предыдущего на π.
a*n = π*m (m-целое число)
a=π*m/n
cos(a)= cos(π* m/n)
sin(a)=sin(π*m/n)
|z|= (cos(π*m*(n-1)/n)/cos(π*m/n)) )^(1/(n-1) )=
=(cos(m*π -m*π/n)/cos(m*π/n))^(1/(n-1) )
заметим что: cos (m*π-m*π/n)= (-1)^(m) * cos(m*π/n).
Таким образом получаем крайне интересное выражение:
|z|= (-1)^(m/(n-1) ) ,тк модуль любого комплексного числа неотрицателен и является числом действительным, то
(-1)^(m/(n-1) )>0 (внимание сокращать дроби при возведении -1 в степень не в коем случае нельзя! Например : (-1)^(6/2)≠ (-1)^(3) )
((-1)^(m) )^(1/(n-1) ) =1 ,если m-четно. (подходит при любом n)
Если n-1 четно ,то m обязательно должно быть четно! Иначе значение выражения будет только комплексным,а модуль число действительное).
Если m нечетно , и n-1-нечетно , то значение равно : -1<0 ,что не подходит . </p>
Вывод : если n нечетно , то m-четно
Если n-четно ,то m тоже должно быть четно.
Вывод : m=2*k-четно для любого n. |z|=1
z=cos(2*π*k/n) +i*sin(2*π*k/n) =e^(i*2*π*k/n)
Cумма представляет собой сумму двух бесконечных прогрессий комплексного аргумента -1 ,тк единица будет встречатся в обоих прогрессиях:
S= 2 * ( 1/(1-e^(2i/n)) +1/(1-e^(2i/n) ) -1
Ответ: 2 * ( 1/(1-e^(2i/n)) +1/(1-e^(2i/n) ) -1