Я не вру, что не пил.
Да, в данном предложении нужна запятая,
поскольку присутствует подчинительный союз ЧТО.
Но сказуемые НЕ ВРУ и НЕ ПИЛ, выраженные частицей и глаголом, — однородные, потому что относятся к одному и тому же подлежащему Я, выраженному личным местоимением.
Я не вру// Я не пил