Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б . С исследованием пожалуйста.

0 голосов
65 просмотров

Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б . С исследованием пожалуйста.

image
Алгебра (4.2k баллов) | 65 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

y=\frac{x}{\ln{x}}

1. Область определения: На ноль делить нельзя --> imagex\neq 1" alt="\ln{x\neq }0=>x\neq 1" align="absmiddle" class="latex-formula"> и х не отрицательный т.к. х под натуральным логарифмом. Итоге: x∈[0;1)∪(1;+∞)

2. Функция общего вида т.к. f(-x)≠±f(x)

3. Точки пересечения с осями:

imagex\neq }1} \right. \\(0;0)\\\frac{0}{\ln{0}} =0" alt="\frac{x}{\ln{x}}=0 \\\left \{ {{x=0} \atop {\ln{x}\neq 0=>x\neq }1} \right. \\(0;0)\\\frac{0}{\ln{0}} =0" align="absmiddle" class="latex-formula"> Только одна точка (0;0)

4. Исследование с 1ой производной:

y'=\frac{1*\ln{x}-x*\frac{1}{x} }{\ln^2{x}} =\frac{\ln{x}-1}{\ln^2{x}}

см. внизу.

y(e)=\frac{e}{\ln{e}} =e

5. Исследование со 2ой производной:

y'=\frac{\ln{x}-1}{\ln^2{x}}\\y''=\frac{\frac{\ln^2{x}}{x} -2\ln{x}*\frac{1}{x}*(\ln{x}-1)}{\ln^4{x}} =\\\frac{\ln{x}-2\ln{x}+2}{x*\ln^3{x}}=\\\frac{-(\ln{x}-2)}{x\ln^3{x}}

см. внизу.

y(e^2)=\frac{e^2}{\ln{e^2}}= \frac{e^2}{2}

6. Асимптоты:

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: \lim_{x\to\infty}{(kx+b-f(x))}

Находим коэффициент k: k=\lim_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{x}}\\k=\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{x}{ln(x)}}{x}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{ln(x)}}=0

Находим коэффициент b: b=\lim_{x\to\infty}{f(x)-k*x}\\b=\lim_{x\to\infty}{\frac{x}{ln(x)}-0*x}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x}{ln(x)}}=\infty

Предел равен ∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют.

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: x=1

Находим переделы в точке 1: \lim_{x\to1-0}{\frac{x}{ln(x)}}=-\infty\\\lim_{x\to1+0}{\frac{x}{ln(x)}}=\infty

Значит точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

image
image
(34.7k баллов)
Похожие задачи