Нормальные векторы плоскостей, которые задают прямую а. равны:
n1 = (2; 1;-2) , n2 = (1; 1; 1).
Тогда направляющим вектором прямой а будет векторное произведение векторов n1 и n2.
a × b =
ijk
axayaz
bxbybz
=
ijk
21-2
111
= i (1·1 - (-2)·1) - j (2·1 - (-2)·1) + k (2·1 - 1·1) =
= i (1 + 2) - j (2 + 2) + k (2 - 1) = {3; -4; 1}.
Таким образом, вектор →
n = {3; -4; 1} будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a.
Запишем искомое уравнение плоскости:
3(x − 2) + (-4)(y + 3) + 1(z − 5)
= 3x – 6 – 4y – 12 + z – 5 = 3x – 4y + z – 23 = 0.
Ответ: 3x – 4y + z – 23 = 0.