Это герундий, т.е. Ing-овое окончание. Точно правило не помню, но конструкция переводится в твоем случае ''любить процесс игры и гуляния с собакой''. Ing - это ппоцесс. Также можно сказать и I love to play and walk. Оба варианта правильные, но первый звучит грамотнее. Извини, если не очень понятно.