Ребят помогите сделать номер 8.20. буду очень благодарен

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Здесь можно воспользоваться разложением в ряд Маклорена экспоненциальных функций до 4 члена. Остальные члены будут бесконечно малыми более высокого порядков и не будут влиять на ответ в пределе.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-e^{2x}-x}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{(1+\frac{3x}{1!}+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3))-(1+\frac{2x}{1!}+\frac{(2x)^2}{2!}+O(x^3))-x}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{3x}{1!}+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-1-\frac{2x}{1!}-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=$

Сократим в числителе единицу,

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x}{1!}+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-\frac{2x}{1!}-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{3x+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-2x-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=$

В числителе сократим члены при х. Останутся члены при $x^2$ и $O(x^3)$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2!}+O(x^3)-\frac{4x^2}{2!}-O(x^3)}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2}+O(x^3)-\frac{4x^2}{2}-O(x^3)}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2}-\frac{4x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2-4x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=$

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5x^2}{2}}{x^2}+\lim_{x \to 0} \frac{O(x^3)}{x^2}-\lim_{x \to 0} \frac{O(x^3)}{x^2}=$

Заметим, что два последних члена равны 0. Так как порядок стремления к нулю у числителя больше, чем у знаменателя.

$=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5x^2}{2}}{x^2}=\frac{5}{2}=2,5$

Ответ: 2,5.
Заметим, что члены при $O(x^3)$ можно отбросить. Так как при делении на

bearcab_zn (114k баллов) 15 Март, 18