доказать, что при любом натуральном n число An =n^3+5n делится ** 6.

Question 1

доказать, что при любом натуральном n число An =n^3+5n делится на 6.

Question 2

Методом мат индукция при n=1 верно ,то при k=n+1
$(n+1)^3+5(n+1) = n^3 + 3n^2 +8n+6 \\ n^3+5n+3n^2+3n+6\\ n^3+5n=A_{n}\\ A_{n} +3n^2+3n+6 = A_{n}+6n^2-3n^2+6n-3n+6 =\\A_{n}+6n(n+1)-(3n^2+3n)+6\\ A_{n}+6n(n+1)-3n(n+1)+6\\ A_{n}+(6n-3n)(n+1)+6\\ A_{n}+3n(n+1)+6$

То есть n(n+1) это два последовательных чисел, и хот бя одно из них содержит
число 2 , а так как оно еще умножается на 3 , то оно делиться на 6
то есть все выражение делится на 6 , так как A(n) уже делится , 6 тоже и искомое выражение тоже делится на 6

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-15T07:45:16+0000

Методом мат индукция при n=1 верно ,то при k=n+1
$(n+1)^3+5(n+1) = n^3 + 3n^2 +8n+6 \\ n^3+5n+3n^2+3n+6\\ n^3+5n=A_{n}\\ A_{n} +3n^2+3n+6 = A_{n}+6n^2-3n^2+6n-3n+6 =\\A_{n}+6n(n+1)-(3n^2+3n)+6\\ A_{n}+6n(n+1)-3n(n+1)+6\\ A_{n}+(6n-3n)(n+1)+6\\ A_{n}+3n(n+1)+6$

То есть n(n+1) это два последовательных чисел, и хот бя одно из них содержит
число 2 , а так как оно еще умножается на 3 , то оно делиться на 6
то есть все выражение делится на 6 , так как A(n) уже делится , 6 тоже и искомое выражение тоже делится на 6