Судя по заданию вы проходите фразовые глаголы. В этом случае хорошим вариантом будет смотреть объяснения в английском словаре. Например oxfordlearnersdictionaries
Окей, посмотрим на то, какие значения имеет каждый фразовый глагол и сопоставим с заданием.
---------------------------------------------------------
come round
1) to become conscious again - приходить в себя (после обморока, болезни)
2) (of a date or a regular event) to happen again - наступать; состояться, происходить
come around/round (to…)
to come to a place, especially somebody’s house, to visit for a short time - заходить, заезжать, приходить в гости.
come around/round (to something)
to change your mood or your opinion - менять мнение, убеждение; соглашаться
---------------------------------------------------------
come across (=come over)
1) to be understood - восприниматься, доходить
2) to make a particular impression - пониматься как, производить впечатление, казаться
come across somebody/something
to meet or find somebody/something by chance - натыкаться на что-либо/ кого-либо
come across (with something)
to provide or supply something when you need it - передавать, выражать(ся)
---------------------------------------------------------
come out
1) when the sun, moon or stars come out, they appear - появиться (о звездах, Луне, Солнце)
2) (of flowers) to open - распускаться (о листьях, цветах)
3) to be produced or published - публиковаться, выпускаться
4) (of news, the truth, etc.) to become known - обнаруживаться, проявляться(так же о старых фотографиях), раскрываться
5) to be shown clearly - раскрываться (о чел. качествах)
6) when words come out, they are spoken - выходить (о словах)
7) to say publicly whether you agree or disagree with something - выступать, делать заявление
come out (of something)
1) (of an object) to be removed from a place where it is fixed - выдирать, отдирать.
2) (of dirt, a mark, etc.) to be removed from something by washing or cleaning - удалить, убрать
---------------------------------------------------------
come back
1) to return - возвращаться к (прежнему)
2) to become popular or successful again - вернуться (о моде например)
come back (to somebody)
to return to somebody’s memory - вернуться, вспоминать
---------------------------------------------------------
Окей, посмотрим теперь на задания.
1) He came…. this chessboard in an antiques shop.
Он ... шахматную доску в антикварном магазине.
скорее всего, он нашел ее случайно. Т.е. это come across
He came across this chessboard in an antiques shop.
2) They came … to their home town because they missed it.
Они ... в их родной город, потому что соскучились по нему. Скорее всего "они вернулись", т.е. come back
They came back to their home town because they missed it.
3) John came … to see my new stereo.
Джон ... посмотреть на (не знаю как перевести стерео, но скорее всего это проигрыватель или что-то в этом роде)
Тут вероятнее всего - пришел в гости, поэтому come round
John came round to see my new stereo.
4) His new book has come… recently.
Его новая книга ... недавно.
Раз книга, то "была опубликована", а значит come out
His new book has come out recently.
5) She came … to the country a month ago.
Она ... в страну месяц назад
Скорее всего, она вернулась месяц назад, т.е. come back
She came back to the country a month ago.
Впрочем если какой-то из пунктов по смыслу будет вам казаться более подходящим, чем предложенный мною, смело меняйте :)