Решить уравнение 5sin x + 13cos x = 6
Переходим к половинному углу x/2:
5sin(x/2) * cos(x/2) + 13cos2(x/2) - 13sin2(x/2) = 6sin2(x/2) + 6cos2(x/2)
Переносим все вправо:
19sin²(x/2) – 5sin(x/2) * cos(x/2) - 7cos²(x/2) = 0
Делим на cos²(x/2):
19tg²(x/2) – 5tg(x/2) - 7 = 0. Замена tg(x/2) = t.
Получаем квадратное уравнение 19t² – 5t – 7 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t:
Ищем дискриминант:
D=(-5)^2-4*19*(-7)=25-4*19*(-7)=25-76*(-7)=25-(-76*7)=25-(-532)=25+532=557;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t1=(√557-(-5))/(2*19)=(√557+5)/(2*19)=(√557+5)/38 ≈ 0.752654;
t2=(-√557-(-5))/(2*19)=(-√557+5)/(2*19)=(-√557+5)/38 ≈ -0.489496.
Находим тангенс полного угла:
tgx=(2tg (x/2))/(1-tg² (x/2)) = (2*(5+√557))/38)/(1-((5+√557)/38)² ) = = (380+76√557)/(862-10√557) = 3,472354.