При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень 16^x-(a+1)*4^x+a=0

Question

При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень 16^x-(a+1)*4^x+a=0

Answer 1

0\\\\t^2-t(a+1)+a=0\\\\D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2" alt="\displaystyle 16^x-(a+1)\cdot4^x+a=0\\\\4^{2x}-4^x(a+1)+a=0\\\\4^x=t,\quad t>0\\\\t^2-t(a+1)+a=0\\\\D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2" align="absmiddle" class="latex-formula">

Рассмотрим два случая

1) Дискриминант равен 0

2) Дискриминант больше 0

Рассматривать случай при дискриминанте меньше 0 смысла нет, так как никаких действительных корней в этом случае не будет.

0)\\\\2)\quad \text{D}>0\quad\rightarrow\quad(a-1)^2>0\quad \rightarrow\quad a\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\\\\t=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\\\t_1=\frac{a+1-(a-1)}{2}=\frac{2}2=1\\\\t_2=\frac{a+1+a-1}{2}=\frac{2a}2=a" alt="\displaystyle 1)\quad \text{D}=0\quad\rightarrow\quad(a-1)^2=0\quad \rightarrow \quad \boxed{a=1}\\\\t=\frac{a+1}{2}=\frac{1+1}2=1\quad (t>0)\\\\2)\quad \text{D}>0\quad\rightarrow\quad(a-1)^2>0\quad \rightarrow\quad a\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\\\\t=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\\\t_1=\frac{a+1-(a-1)}{2}=\frac{2}2=1\\\\t_2=\frac{a+1+a-1}{2}=\frac{2a}2=a" align="absmiddle" class="latex-formula">

Первый корень всегда:

Второй корень может принимать как положительные, так и отрицательные значения:

При этом, вспомним про условие: 0" alt="t>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Показательная функция принимает строго положительные значения. Значит, если а будет меньше или равно 0, то второго корня у исходного уравнения не будет.

Ответ: