Интеграл (x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 dx

Ответ:

4) $-\frac{1}{3x^{3}+9x+3}+C,C$ ∈R

Пошаговое объяснение:

$\int\limitsa {\frac{x^{2}+1 }{ (x^{3}+3x+1)^{2}}} \, dx$

Используем подстановку t=x³+3x+1, чтобы упростить интеграл

$\int\limits {\frac{1}{3t^{2}}} \, dt$

Используем св-во интегралов $\int\limits{a*f(x)}\, dx=a*\int\limits {f(x)} \, dx$

$\frac{1}{3}*\int\limits {\frac{1}{t^{2}}} \, dt$

Используем формулу*** , чтобы найти интеграл

$\frac{1}{3}*(-\frac{1}{t})$

Сделаем обратную замену t=x³+3x+1

$\frac{1}{3}*(-\frac{1}{x^{3}+3x+1})$

Упростим выражение

$-\frac{1}{3x^{3}+9x+3}$