∑(1;+∞) (n+2)²*(x-4)ⁿ
Находим радиус сходимости:
R=lim(n→∞) ((n+2)²/(n+1+2)²=lim(n→∞) ((n+2)²/(n+3)²=
=lim(n→∞) ((n²+4n+4)/(n²+6n+9)) Неопределённость ∞/∞.
Разделим одновременно числитель и знаменатель на n²:
R=lim(n→∞) ((1+4/n+9/n²)/(1+6/n+9/n²))=1/1=1.
R=1.
x₁=4-1=3 x₂=4+1=5. ⇒
Интервал сходимости ряда (3;5).
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При x=3 ряд имеет вид ∑(1;+∞) ((n+2)²*(-1)ⁿ). ⇒
lim(n→∞) ((-1)ⁿ*(n+2)²). При (n→∞) - по первому признаку Лейбница функция знакочередующаяся и её члены убывают монотонно.
|-9|>|16|>|-25| 9<16<25 ⇒ для нашего ряда это условие не выполняется. </p>
Так как по второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к нулю ⇒
Ряд расходится и, значит, x = 3 - точка расходимости.
При x=5 ряд имеет вид ∑(1;+∞) (n+2)². lim(n→∞) (n+2)²=∞ ⇒
Ряд расходится, f значит, x = 5 - точка расходимости.
Ответ: интервал сходимости ряда (3;5).