Заранее огромное спасибо Докажите, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды...

Question

Заранее огромное спасибо Докажите, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды перпендикулярно к одной из диагоналей основания

Answer 1

Докажите, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды перпендикулярно к одной из диагоналей основания

SABCD - правильная четырёхугольная пирамида.

Правильная - в основании квадрат и высота  SO проектируется  в точку пересечения  диагоналей квадрата. AC∩BD = O

Помним, что в квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. AC⊥BD.

Возьмём ребро SA.  Это ребро - наклонная для плоскости квадрата.

АО - проекция этой наклонной. АО⊥ BD. По т. о 3-х перпендикулярах SA⊥BD

Comments

Это можно сформулировать так: диагональ основания перпендикулярна другой диагонали и высоте пирамиды, то есть перпендикулярна сечению пирамиды (плоскости такого сечения), содержащему другую диагональ и высоту, а такое сечение содержит вершину основания и вершину пирамиды, то есть - все боковое ребро. То есть для диагонали основания есть по крайней мере 1 боковое ребро, ей перпендикулярное. На самом деле 2, очевидно.

---

Спасибули

---

не нравится слово "очевидно" - могу уточнить. Диагональ основания перпендикулярна плоскости, проходящей через вершину пирамиды и концы другой диагонали (я это доказал, но повторю - это потому, то 1) диагонали квадрата взаимно перпендикулярны 2) эта плоскость содержит еще одну прямую, которая перпендикулярна диагонали основания - это высота пирамиды, которая перпендикулярна всем прямым в плоскости основания.). Следовательно, диагональ перпендикулярна двум боковым ребрам.

---

Очевидно