ДУ пожалуйста помогите!!

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2020-05-30T08:09:40+0000

Ответ:

y = x²

Пошаговое объяснение:

xy' - y - x² = 0 y(2) = 4

Разделим обе части уравнения на х

$y' -\frac{y}{x} =x$

Получили линейное уравнение первого порядка

Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций

$y=u(x)\cdot v(x)$

Дифференцируя обе части равенства находим

$\frac{du}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

Подставляем в дифференциальное уравнение

$u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}-\frac{u\cdot v}{x}=x$

или

$u(\frac{dv}{dx}- \frac{v}{x})+ v\frac{du}{dx}=x$

Выберем функцию v(x) такой, что

$\frac{dv}{dx}- \frac{v}{x} = 0$

$\frac{dv}{dx}= \frac{v}{x}$

$\frac{dv}{v}= \frac{dx}{x}$

Интегрируя , получаем

$\int\limits\frac{dv}{v}=\int\limits\frac{dx}{x}$

ln|v| = ln|x|+ln|C|

v = Cx

Так нам достаточно какого либо отличного от нуля решения то за функцию v(x) возьмем

v(x) = x

Подставляем найденное значение в уравнение

$u(\frac{dv}{dx}- \frac{v}{x})+ v\frac{du}{dx}=x$

$u(\frac{dx}{dx}- \frac{x}{x})+ x\frac{du}{dx}=x$

$x\frac{du}{dx}=x$

du = dx

Интегрируя, получим

$\int\limits du = \int\limits dx$

u = x + С

Окончательно получаем

y = uv = x(x + C) = x² + Cx

Проверка:

xy' - y - x² = 0

x(2x + C) - x² - Cx - x² = 2x² + Cx - 2x² - Cx = 0

Константу С найдем из начальных условий y(2) = 4

2² + 2С = 4

С = 0

Следовательно частное решение диф.уравнения y = x²