Ответ:
1) 2√10 см; 2√15 см
2) ∠АОВ=2·∠ACB или 2·arcsin√
∠АОС=2·∠AВС или 2·arcsin√
.
Пошаговое объяснение:
1) Высота, опущенная из вершины прямого угла делит прямоугольник на 2 подобных ему прямоугольника. Это следует из первого признака подобия (равенство двух углов)
Рассмотрим рисунок. Имеем исходный прямоугольный ΔАВС и подобные ему ΔКАС и ΔКВА.
Примем высоту АК за х. Тогда из подобия треугольников получим:
х/4=6/х ⇒ х²=24 ⇒ х=√24.
Из прямоугольных ΔКАС и ΔКВА найдем катеты ΔАВС.
АВ=√(ВК²+АК²)=√(16+24)=2√10 см
АС=√(КС²+АК²)=√(36+24)=2√15 см
2) Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Пусть т. О - середина гипотенузы ΔАВС. Тогда получаем два равнобедренных ΔАВО и ΔАСО с основаниями АВ и АС соответственно.
Из свойств сегментов окружностей известно, что угол сегмента окружности равен 2·arcsin( с/2R), где с-длина хорды, R-радиус окружности.
Тогда ∠АОВ=2·arcsin( AB/BC) ⇒ ∠АОВ=2·arcsin( sin∠ACB)=2·∠ACB.
Соответственно:
∠АОС=2·arcsin( AС/BC) ⇒ ∠АОС=2·arcsin( sin∠AВС)=2·∠AВС.
Если нужен цифровой ответ, то
∠АОВ=2·∠ACB=2·arcsin( АВ/ВС)= 2·arcsin(2√10/10)=2·arcsin√
∠АОС=2·arcsin( AС/BC)= 2·arcsin(2√15/10)=2·arcsin√
