Рассмотрим два случая:
1) x < 0; |x| = -x
x^2 - (a+1)(-x) + a = 0
x^2 + (a+1)*x + a = 0
D = (a+1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2
x1 = (-a-1-a+1)/2 = -2a/2 = -a
x2 = (-a-1+a-1) = -2/2 = -1
2) x >= 0; |x| = x
x^2 - (a+1)*x + a = 0
D = (a+1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2
x3 = (a+1-a+1)/2 = 2/2 = 1
x4 = (a+1+a-1) = 2a/2 = a
Таким образом, уравнение имеет 4 решения:
x1 = -a; x2 = -1; x3 = 1; x4 = a
Три корня будет, если a = -a, то есть a = 0
Ответ: при а = 0