Дано:
R₁=10см
R₂=5см
φ₀₁-20В
φ₀₂=10В
найти φ₃
потенциал до соединения для 1-го шара:
φ₀₁=q₁/4πε₀R₁ (1)
Для 2-го:
φ₀₂=q₂/4πε₀R₂ (2)
После соединения их потенциалы равны и равны φ₃:
φ ₃=q₁₂/4πε₀R₁= q₂₂/4πε₀R₂ (3)
Где q₁₂ и q₂₂ заряды шаров после соединения проводом.
По закону сохранения электрического заряда суммарный заряд системы шаров не изменился. Тогда
q₁+q₂=q₁₂+q₂₂ (4)
q₁, q₂ можно выразить из (1) и (2)
q₁=φ₀₁4πε₀R₁ (5)
q₂=φ₀₂4πε₀R₂ (6)
из (3) выразим
q₂₂=q₁₂R₂/R₁ (7)
выражения для зарядов из (5), (6), (7) подставляем в (4).
φ₀₁4πε₀R₁ + φ₀₂4πε₀R₂ =q₁₂+q₁₂R₂/R₁
преобразуем
4πε₀(φ₀₁R₁ + φ₀₂R₂) =q₁₂(1+R₂/R₁)
определим q₁₂.
q₁₂= 4πε₀(φ₀₁R₁ + φ₀₂R₂)/(1+R₂/R₁) (8)
теперь заряд q₁₂ (8) подставим в (3)
φ₃=4πε₀(φ₀₁R₁ + φ₀₂R₂)/(1+R₂/R₁)/( 4πε₀R₁) = (φ₀₁R₁ + φ₀₂R₂)/(R₁+R₂)
Подставляем числа, выражаем в СИ
φ₃= (20*0,1+10*0,05)(0,1+0,05)=2,5*0,15=0,375В