Найти экстремумы функ двух переменных

Ответ:

Точка N(2,-6)- точка экстремума и это точка минимума

Пошаговое объяснение:

$z=2x^3+y^2+6xy+12x\\z'_x=6x^2+6y+12\\z'_y=2y+6x\\\left \{ {{z'_x=0} \atop {z'_y=0}} \right.;\left\{{{6x^2+6y+12=0}\atop{2y+6x=0}\right. ;\left\{{{6x^2+6y+12=0}\atop{x=-\frac{1}{3}y}}\right.\\6*\frac{1}{9}y^2+6y+12=0\\2y^2+18y+36=0\\y^2+9x+18=0\\D=81-72=9\\y_{1,2}=\frac{-9\pm3}{2}=-3;-6\\x_1=1\:\:and\:\:x_2=2$

Мы получили две точки, которые предположительно могут быть токами экстремума- это M(1,-3) и N(2,-6)

$\Delta=\begin{vmatrix} \ A &\ B\\ \ B& \ C\end{vmatrix}=AC-B^2\\A=z''_{xx}=12x\\B=z''_{xy}=6\\C=z''_{yy}=2\\A(M)=12\\\Delta=12*2-36=-12$

Т. к дельта меньше нуля, то точка M не является точкой экстремума

$A(B)=24\\B=6\\C=2\\\Delta=48-36=12$

Т. к дельта больше нуля, то точка N- точка экстремума и A>0, то это точка минимума