Дано: Т = 16 лет = 16*31536000 секунд. (31536000 - количество секунд в году)
R = 8 а.е. = 8*1,5*10^11 метров.
G – гравитационная постоянная (числовое значение не нужно)
Тоз – период обращения Земли вокруг Солнца = 1 год
Rоз - радиус орбиты Земли = 1 а.е.
Мс – масса Солнца (числовое значение не нужно)
Vис - орбитальная скорость искусственного спутника (ИС)
Tис – период обращения ИС вокруг светила = 1 год.
Найти:
1. Скорость обращения планеты - V
2. Массу светила в массах Солнца – М
3. Радиус орбиты ИС с периодом 1 год - Rиc
Решение:
1. Длина орбиты планеты L = 2*pi*R = 2*3,1415926*8*1,5*10^11 = 7539822368615,5 метра. Это расстояние планета пролетает за время Т. Следовательно, скорость движения планеты по орбите V = L/T = 7539822368615,5/16*31536000 = 14942,89 м/сек = 14,943 км/сек.
2. Поскольку планета движется по замкнутой орбите, то на планету действует центростремительное ускорение определяемое выражением a = V²/R. Это центростремительное ускорение создает сила гравитации светила. И эта сила создает ускорение (g) свободного падения, которое на расстоянии R от светила определяется выражением g = G*M/R². Это ускорение «g» и является центростремительным ускорением «a». Значит можно записать g = а Или G*M/R² = V²/R. Но V²/R = (2*pi*R)²/(T²*R) = 4*pi²*R/T². Окончательно имеем G*M/R² = 4*pi²*R/T². Отсюда М = 4*pi²*R³/(T²*G). Аналогично для Солнца Мс = 4*pi²*Rоз³/(Tоз²*G). Разделим одно на другое М/Мс = 4*pi²*R³*Tоз²*G/4*pi²*Rоз³*T²*G. После сокращения подобных членов имеем М/Мс = R³*Tоз²/Rоз³*T² = 8³*1²/1³*16² = 8³/16² = 512/256 = 2. Светило в задаче в 2 раза массивнее Солнца.
3. По аналогии с предыдущей задачей можно записать G*M/Rис² = Vис²/Rис. Но Vис = 2*pi*Rис/Тис. Тогда G*M/Rис² = (2*pi*Rис)²/(Rис*Тис²). Или G*M = 4*pi²*Rис³/ Тис². Отсюда Rис³ = G*M*Тис²/4*pi² и Rис =∛(G*M*Тис²/4*pi²). Аналогично для Земли Rоз = ∛(G*Mс*Тоз²/4*pi²). Разделим одно на другое Rис/ Rоз = ∛(G*M*Тис²*4*pi²/ G*Mс*Тоз²/4*pi². Учитывая, что по условию Тоз = Tис и сократив подобные члены имеем Rис/ Rоз = ∛(М/Мс). Раньше мы нашли, что М в 2 раза больше Мс значит Rис/ Rоз = ∛2. Следовательно, радиус орбиты искусственного спутника в ∛2 раз больше радиуса орбиты Земли.