Доказать равенство lim 1\3n n→∞ =0 с какого N члены последовательности отличаются от...

Зная определение предела последовательности, укажем тот самый номер $N$ с которого выполняется неравенство $|1/(3n)|<\epsilon$ . Таким номером, очевидно, является $N=[1/\epsilon]$ (где [...] - целая часть числа)

т.е.

0 \; \exists N=[1/\epsilon] \in \mathbb {N} :\forall n>N \; |1/(3n)|<\epsilon" alt="\forall \epsilon>0 \; \exists N=[1/\epsilon] \in \mathbb {N} :\forall n>N \; |1/(3n)|<\epsilon" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если есть сомнения, можете проверить это утверждение непосредственным вычислением

Пусть $\epsilon =1/4$ тогда $N=4$ и следовательно $1/(3*5)<1/4; 1/(3*6)<1/4$ и т.п.

С какого N члены последовательности отличаются от величины предела меньше чем на 1/100?

$\epsilon=1/100, |1/(3n)|<1/100$

из неравенства находим

100/3 \approx 33.3" alt="n>100/3 \approx 33.3" align="absmiddle" class="latex-formula">

значит $N=33$

и при всех 33" alt="n>33" align="absmiddle" class="latex-formula"> (т.е. с 34-го члена) члены последовательности отличаются от нуля меньше чем на 1/100