1,10 и 13 члены арифметической прогрессии взятые в данном порядке, образуют убывающую...

а₅ = 38 ⇒ а₁ + 4d = 38 ⇒ a₁ = 38 - 4d

По свойству геометрической прогрессии:

$\tt {a_{10}}^2=a_1\cdot a_{13}\\\\ (a_1+9d)^2=a_1(a_1+12d)\\\\ {a_1}^2+18a_1d+81d^2={a_1}^2+12a_1d\\\\81d^2+6a_1d=0\\\\81d^2+6d(38-4d)=0\\\\ 81d^2+228d-24d^2=0\\\\ 57d^2+228d=0 \ \ |:57\\\\ d^2+4d=0\\\\ d(d+4)=0\\\\1) \ d=0 \ \ \ \ \O\\\\2) \ d+4=0\\{} \ \ \ \ \bold{d=-4}\\\\\\ a_1=38-4d=38-4(-4)=38+16=54\\\\\\ S_{15}=\cfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n= \cfrac{2\cdot54+(-4)(15-1)}{2}\cdot 15=390$

Ответ: 390