находим точки удовлетворяющие условию
dz/dx=0
dz/dy=0
Частные производные от функции z равны
df/dx=d/dx(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=54x+9y^2-27
df/dy=d/dy(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=18xy+6y^2
Приравниваем их к нулю и решаем систему
54x+9y^2-27=0
18xy+6y^2=0
Из второго уравнения имеем
x=-y/3
подставив в первое уравнение получим
y^2-2y-3=0
Решая это квадратное уравнение получим два корня
y1=-1
y2=3
при y1=-1 имеем x1=1/3
при y2=3 имеем x2=3
А также при y=0 x=0,5
таким образом получили три точки
М1=(1/3; -1)
M2(-1; 3)
M3(0,5; 0)
Находим вторые производные
d/dx(df/dx)=d/dx(54x+9y^2-27)=54
d/dy(df/dx)=d/dy(54x+9y^2-27)=18y
d/dy(df/dy)=d/dy(18xy+6y^2)=18x+12y
далее для каждой точки M1 и M2 установим наличие экстремума
M1(1/3;-1)
A=d^2f/dx^2 |м1=54
B=d^2f/dx*dy |м1 =18*(-1)=-18
C=d^2f/dy^2 |M1 =18*1/3+12*(-1)=-6
Дискриминат=AC-B^2=54*(-6)-(-18)^2=-648 <0</p>
так как дискриминат меньше нуля, то точка M1 не имеет ни минимумов ни максимумов
M2(-1 ;3)
A=d^2f/dx^2 |м2=54
B=d^2f/dx*dy |м2 =18*3=54
C=d^2f/dy^2 |M2 =18*(-1)+12*3=18
Дискриминат=AC-B^2=18*54-54^2=-1944<0</p>
так как дискриминат меньше нуля, то точка M2 не имеет ни минимумов ни максимумов
M3(0,5; 0)
A=d^2f/dx^2 |м3=54
B=d^2f/dx*dy |м3 =18*0=0
C=d^2f/dy^2 |M3 =18*(0,5)+12*0=9
Дискриминат=AC-B^2=54*9-0^2=486>0
так как дискриминант >0 и А>0, то функция z имеет min в точке M3(0,5; 0)
Zmin=27x^2+9xy^2-27x+2y^3=27*(1/2)^2+9*0,5*0^2-27*1/2+2*0^3=
27/4-27/2= -6,75