Ответ: u'v=2^x.
Пошаговое объяснение:
). yy'/x+e^y=0;
Разделяем переменные, деля на e^y и умножая на xdx:
ydy/e^y+xdx=0; интегрируем:
∫xdx + ∫(y/e^y)dy=C; x²/2-e^(-y)(y+1)=C.
2). y'=2^x-y при y(-3)=-5;
Замена y=uv; y'=u'v+v'u =>
u'v+v'u+uv=2^x,
u'v+u(v'+v)=2^x. Выберем в качестве v частный интеграл ур-я v'+v=0. Тогда для u получим:
u'v=2^x.
Решая первое ур-е, найдем v:
dv/v=-dx; ln v = -x; v=e^(-x).
Подставляя v во второе ур-е, найдем u как общий интеграл этого ур-я:
u'e^(-x)=2^x; du=2^x*e^xdx; u=2^x*e^x / (ln2 + 1) + С.
Зная u и v, находим у:
y=uv=2^x/(ln2+1) + C*e^(-x).
Подставляя сюда значения переменных х=-3, у=-5, находим значение произвольной постоянной С:
1/[8(ln2+1)] + c*e³=-5 => C=-0,253.
Если есть вопросы - пишите на почту.