Вычислить предел(подробно)
Это если раскрывать 0/0 по Лопиталю, долго,муторно да еще и возиться с производными. Пойдем другой дорогой, воспользуемся теорией о бесконечно малых величинах.
Разница на лицо, вычислений нет, все иксы сократились и решение убавилось в масштабах.
у меня 1 вопросик, что вы сделали , там где правило лопиталя, когда получилось е в степени 5/3???
Правило Лопиталя применяется если у нас неопределенность вида 0/0 ил беск/беск. Мы находим отдельно производные числителя и знаменателя.
![\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{5}{sin^2(6x)}=1^\infty=[\lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{1}{ln(1+x^2)}]^{\frac{5ln(1+x^2)}{sin^2(6x)}}=\\...=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x^2)}{sin^2(6x)} }=e^{\displaystyle\frac{5}{3}\lim_{x \to 0}\frac{x}{(1+x^2)*sin(12x)}}=\\=e^{\displaystyle\frac{5}{3}\lim_{x \to 0}\frac{1}{(2x*sin(12x)+12cos(12x)*(1+x^2)}}=e^{\displaystyle\frac{5}{36}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%281%2Bln%281%2Bx%5E2%29%29%5E%5Cfrac%7B5%7D%7Bsin%5E2%286x%29%7D%3D1%5E%5Cinfty%3D%5B%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%281%2Bln%281%2Bx%5E2%29%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%281%2Bx%5E2%29%7D%5D%5E%7B%5Cfrac%7B5ln%281%2Bx%5E2%29%7D%7Bsin%5E2%286x%29%7D%7D%3D%5C%5C...%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle5%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bln%281%2Bx%5E2%29%7D%7Bsin%5E2%286x%29%7D%20%7D%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%281%2Bx%5E2%29%2Asin%2812x%29%7D%7D%3D%5C%5C%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%282x%2Asin%2812x%29%2B12cos%2812x%29%2A%281%2Bx%5E2%29%7D%7D%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B5%7D%7B36%7D%7D "\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{5}{sin^2(6x)}=1^\infty=[\lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{1}{ln(1+x^2)}]^{\frac{5ln(1+x^2)}{sin^2(6x)}}=\\...=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x^2)}{sin^2(6x)} }=e^{\displaystyle\frac{5}{3}\lim_{x \to 0}\frac{x}{(1+x^2)*sin(12x)}}=\\=e^{\displaystyle\frac{5}{3}\lim_{x \to 0}\frac{1}{(2x*sin(12x)+12cos(12x)*(1+x^2)}}=e^{\displaystyle\frac{5}{36}}")
![ln(1+x^2)\approx x^2\ ;sin(6x)\approx6x\\\\\\\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{5}{sin^2(6x)}=1^\infty=[\lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{1}{ln(1+x^2)}]^{\frac{5ln(1+x^2)}{sin^2(6x)}}=\\...=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x^2)}{sin^2(6x)} }=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{36x^2}}=e^{\displaystyle\frac{5}{36}}](https://tex.z-dn.net/?f=ln%281%2Bx%5E2%29%5Capprox%20x%5E2%5C%20%3Bsin%286x%29%5Capprox6x%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cdisplaystyle%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%281%2Bln%281%2Bx%5E2%29%29%5E%5Cfrac%7B5%7D%7Bsin%5E2%286x%29%7D%3D1%5E%5Cinfty%3D%5B%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%281%2Bln%281%2Bx%5E2%29%29%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%281%2Bx%5E2%29%7D%5D%5E%7B%5Cfrac%7B5ln%281%2Bx%5E2%29%7D%7Bsin%5E2%286x%29%7D%7D%3D%5C%5C...%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle5%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bln%281%2Bx%5E2%29%7D%7Bsin%5E2%286x%29%7D%20%7D%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle5%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B36x%5E2%7D%7D%3De%5E%7B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B5%7D%7B36%7D%7D "ln(1+x^2)\approx x^2\ ;sin(6x)\approx6x\\\\\\\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{5}{sin^2(6x)}=1^\infty=[\lim_{x \to 0} (1+ln(1+x^2))^\frac{1}{ln(1+x^2)}]^{\frac{5ln(1+x^2)}{sin^2(6x)}}=\\...=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x^2)}{sin^2(6x)} }=e^{\displaystyle5\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{36x^2}}=e^{\displaystyle\frac{5}{36}}")