Дано: ∆ ABC, угол ABC=90 AB=BC=2√2, BD перепендикулярно (ABC), BD=√5 Найти: SadcС...

Question

Дан 1 ответ

exponenced_zn · Answer 1 · 2020-05-27T05:01:57+0000

ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы, следовательно, равны 45°. Найдём гипотенузу AC из определения синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе). У угла 45° синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{2\sqrt{2}}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$AC*\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

$AC=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Так как BD перпендикулярна плоскости ABC, то угол ABD = углу CBD = 90°. AB = BC из условия, BD - общая сторона. Значит, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (т.е. по двум сторонам и углу между ними). Значит, AD = DC и треугольник ADC - равнобедренный.

Найдём CD по теореме Пифагора.

$CD=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{8+5}=\sqrt{13}$

Если BM - высота, то её длина должна определяться по формуле: $BM=\frac{AB*BC}{AC}$ . Так как в равнобедренном треугольнике высота - это ещё и медиана, и биссектриса, то получим также, что $BM=AM=CM=\frac{AC}{2}$ (т.к. высота разобьёт равнобедренный прямоугольный треугольник на два одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника).

$\frac{2\sqrt{2}*2\sqrt{2}}{4}=\frac{4}{2}$

Так как 2 = 2, BM - высота, т.е. перпендикулярна стороне AC.

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах, DM также будет перпендикулярна AC. Площадь треугольника ADC - это полупроизведение его основания на высоту (т.е. DM).

Найдём DM из треугольника DBM по теореме Пифагора.

$DM=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$

Найдём площадь треугольника ADC.

$S=\frac{1}{2}*4*3=6$

Ответ: 6