Нужно доказать тождество

Решите задачу:

$\frac{\sin\frac x2+\sin\frac32x}{\cos\frac x2+\cos\frac32x}\cdot(1+\cos2x)=\frac{2\sin\left(\frac32x+\frac x2\right)\cos\left(\frac32x-\frac x2\right)}{2\cos\left(\frac32x+\frac x2\right)\cos\left(\frac32x-\frac x2\right)}\cdot(1+\cos2x)=\\=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\left(1+\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\right)=tgx+\frac{tgx(1-tg^2x)}{1+tg^2x}\right)=\frac{tgx(1+tg^2x)+tgx(1-tg^2x)}{1+tg^2x}=\\=\frac{tgx(1+tg^2x+1-tg^2x)}{1+tg^2x}=\frac{2tgx}{1+tg^2x}=\sin2x$