Даны точки: P (-4;3;-2), Q (-8;3;2)
, R (4;6;-2)
, M (0;3;1)
а) Вектор PQ{-4;0;4}, |PQ| = √(16+0+16) =4√2.
Вектор PR{8;3;0}, |PR| = √(64+9+0) =√73.
Cosα = (-32 +0+0)/(4√2√73) = -8/√146 ≈ - 2/3.
б) Spqr = (1/2)*PQ*PR*Sinα. Sinα = √(1-4/9) = √5/3.
Spqr = (1/2)*4√2*√73*√5/3 = 2*√730/3 ≈ 2*27/3 ≈ 18 ед² .
в) Vmpqr = (1/3)*Spqr*H. Н - расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR.
Найдем вектор нормали плоскости PQR:
| i j k |
|-4 0 4 |
| 8 3 0 | = -12i + 32j -12k => n{-12;32;12}.
Уравнение плоскости PQR:
-12(x-(-4))+32(y-3)+12(z-(-2)) = 0 => 3x-8y-96-3z+30=0 Это общее уравнение плоскости с коэффициентами А=3, В=-8, С=-3, D=30.
расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR рассчитывается по формуле:
d = (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) = (0-24-3+30)/√82 =3/√82≈ 1/3.
Vmpqr = (1/3)*18*1/3 = 2 ед³