Математика: интегралы, пределы, производная. Решить все номера

Question 1

Question 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2.

а) нет неопределенности, просто подставляем 0

= 3-2 = 1

б) $\lim_{x \to -2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{tg(x+2)} = \lim_{x \to -2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}= \\\\=\lim_{x \to -2} x-2 = -4$

3.

a) $y' = tg\dfrac{x^2+\sqrt{x} }{2x} +\dfrac{x}{cos^2\dfrac{x^2+\sqrt{x} }{2x} } *\dfrac{2x(2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x} })-2(x^2+\sqrt{x} ) }{4x^2} =\\\\=tg\dfrac{x^2+\sqrt{x} }{2x} +\dfrac{x(2x^2-\sqrt{x}) }{cos^2\dfrac{x^2+\sqrt{x} }{2x} }$

б) $y' = \dfrac{\frac{\sqrt{x+1} }{2\sqrt{x} }- \frac{\sqrt{x} }{2\sqrt{x+1} }}{x+1} =\dfrac{1}{2(x+1)\sqrt{x(x+1)} }$

5.

а) $\int {\dfrac{x}{\sqrt{3-x^2} } } \, dx +\int {\dfrac{1}{\sqrt{3-x^2} } } \, dx=\\\\=-\int {\dfrac{1}{2\sqrt{3-x^2} } } \, d(3-x^2) +\int {\dfrac{1}{\sqrt{3-x^2} } } \, dx=\\\\=-\sqrt{3-x^2} +arcsin\frac{x}{\sqrt{3} } +C$

б) $\int\limits^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} {x^2sinx} \, dx =-\int\limits^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} {x^2} \, dcosx=-x^2cosx|^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} +2\int\limits^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} {xcosx} \, dx=\\\\=\dfrac{(\sqrt{3}-4)\pi^2 }{72} +2\int\limits^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} {x} \, dsinx=\dfrac{(\sqrt{3}-4)\pi^2 }{72} +2xsinx|^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} -2\int\limits^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} {sinx} \, dx=$ $=\dfrac{(\sqrt{3}-4)\pi^2 }{72}+\dfrac{(2\sqrt{3}-1)\pi }{6}+2cosx|^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6}=\dfrac{(\sqrt{3}-4)\pi^2 }{72}+\dfrac{(2\sqrt{3}-1)\pi }{6}+1-\sqrt{3}$