Помогите решить пределы, пожалуйста

Question 1

Question 2

Ответ:

$\lim_{x \to 4}\frac{3\sqrt{1+2x}-9}{\sqrt{x}-2} =4$

$\lim_{x \to 0}\frac{4\sqrt[3]{8+3x+x^2}-8}{x+x^2}=1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1-10^n}{1+10^{n+1}}}=-0,1$

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x \to 4}\frac{3\sqrt{1+2x}-9}{\sqrt{x}-2} =\left [ \frac{0}{0} \right ]=\lim_{x \to 4}\frac{3(\sqrt{1+2x}-3)\cdot(\sqrt{1+2x}+3)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)\cdot(\sqrt{x}+2)\cdot(\sqrt{1+2x}+3)}=$

$=\lim_{x \to 4}\frac{3(1+2x-9)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(x-4)\cdot(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x \to 4}\frac{3(2x-8)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(x-4)\cdot(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x \to 4}\frac{6(x-4)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(x-4)\cdot(\sqrt{1+2x}+3)}=$

$=\lim_{x \to 4}\frac{6(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}=\frac{6(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1+2\cdot4}+3}=\frac{6(2+2)}{\sqrt{9}+3}=\frac{6\cdot4}{3+3}=\frac{24}{6}=4$

$\lim_{x \to 0}\frac{4\sqrt[3]{8+3x+x^2}-8}{x+x^2}=\left [ \frac{0}{0} \right ]=\lim_{x \to 0}\frac{4(\sqrt[3]{8+3x+x^2}-2)}{x+x^2}=$

$=\lim_{x \to 0}\frac{4(\sqrt[3]{8+3x+x^2}-2)\cdot(\sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3x+x^2}+4) }{(x+x^2)\cdot(\sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=\lim_{x \to 0}\frac{4(8+3x+x^2-8)}{(x+x^2)\cdot(\sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=\lim_{x \to 0}\frac{4(3x+x^2)}{(x+x^2)\cdot(\sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=\lim_{x \to 0}\frac{4x(3+x)}{x(1+x)\cdot(\sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=\lim_{x \to 0}\frac{4(3+x)}{(1+x)\cdot(\sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=\frac{4(3+0)}{(1+0)\cdot(\sqrt[3]{(8+3\cdot0+0^2)^2}+2\sqrt[3]{8+3\cdot0+0^2}+4)}=\frac{4\cdot3}{1\cdot(\sqrt[3]{8^2}+2\sqrt[3]{8}+4)}=\frac{12}{4+4+4}=1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1-10^n}{1+10^{n+1}}}=\lim_{n \to \infty} \frac{10^n\cdot(\frac{1}{10^n}-1)}{10^n\cdot(\frac{1}{10^n} +10)}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{10^n}-1}{\frac{1}{10^n} +10}}=\frac{-1}{10}=-0,1$