x^2-3xy+4x-9y-3=0
x^2-x(3y-4)-(9y+3)=0
D=(3y-4)^2+4(9y+3) = 9y^2+12y+28
x=(3y-4+/-√(9y^2+12y+28))/2
Пусть 9y^2+12y+28=z^2
9y^2+12y+28-z^2=0
D=144-36(28-z^2)
y=(-2+/-√(z^2-24))/3
Пусть
z^2-24=b^2
z^2-b^2=24
(z-b)(z+b)=24=2^3*3
1)
{z+b=12
{z-b=2
2)
{z+b=6
{z-b=4
1)
{z=7
{b=5
2)
{z=5
{b=1
Так же и с минусом
То есть z=+-5,+-7
Тогда
1) 9y^2+12y+28=25
2) 9y^2+12y+28=49
первое и второе уравнение имеет только одно целое решение
y=+-1 , тогда при y=1
x^2-3xy+4x-9y-3=0
x^2+x-12=0
(x-3)(x+4)=0
x=3
x=-4
При y=-1
x^2+7x+6=0
(x+1)(x+6)=0
x=-1
x=-6
Ответ
(x,y) = (3,1) (3,-4) (-1,-1) (-6,-1)