Известно, что последовательность (xₙ) - сходится, а последовательность (yₙ) - расходится....

Question

Известно, что последовательность (xₙ) - сходится, а последовательность (yₙ) - расходится. Что можно сказать о сходимости последовательности (xₙ+yₙ)? Ответ обосновать.

Answer 1

От противного.

Пусть сумма сходится.

Тогда Yn - разность двух последовательностей: (Xn + Yn), которая сходится по допущению и Xn, которая сходится по условию. А разность двух сходящихся последовательностей тоже сходится. Выходит, что Yn сходится, тогда как по условию она расходится. Противоречие.

Значит, Xn + Yn расходится.