Решите неравенство с логарифмом

Во первых запишем ОДЗ: x>0. Во вторых слегка преобразуем:

$x^2\log_4^2x+10\log_3^2x\leq 7x\log_4x\cdot\log_3x$

Заметим, что x=1 является решением неравенства.

Для всех x≠1 поделим обе части на положительную величину $\log_3^2x$ :

$\frac{xlog_4x}{\log_3x} -\frac{7xlog_4x}{\log_3x}+10\leq 0$

Проводим замену:

$\frac{xlog_4x}{\log_3x}=t\\t^2-7t+10\leq 0\\2\leq t\leq 5$

Получаем неравенство

$2\leq \frac{xlog_4x}{\log_3x}\leq 5$

Преобразуем дробь, используя свойства логарифмов:

$\frac{xlog_4x}{\log_3x}=\frac{\frac{x}{\log_x 4}}{\frac{1}{\log_x 3}} =\frac{x\log_x3}{\og_x4} =x\log_4 3=\frac{x}{\log_3 4}$

Теперь последнее неравенство легко решается:

$2\leq \frac{x}{\log_3 4}\leq 5\\2\log_3 4\leq x\leq 5\log_3 4\\4\log_3 2\leq x\leq 10\log_3 2$

Единица, которую мы нашли ранее, не принадлежит этому промежутку, поэтому ее пишем в ответ отдельно.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [4\log_3 2; 10\log_3 2]$