Угадывание с доказательством того, что других решений нет - совершенно нормальный способ, который, на мой взгляд, нужно давать в школе первым. А вот если малой кровью сделать задачу не удается, тогда приходят на помощь другие методы решения. Задача с корнями третьей степени вообще очень коварна. Если ее решать возведением в третью степень с последующей подстановкой вместо суммы корней правой части, можно получить лишние корни, которые, на первый взгляд, никак появиться здесь не могут